Nous montrons, sous certaines hypothèses de courbure, des estimées ponctuelles pour le noyau de Bergman de l'espace des sections holomorphes $L^2$ d'un fibré holomorphe en droites au dessus d'une variété de Stein à géométrie bornée.

Originellement les supercourants fermés, positifs, sont des objet que l'on peut associer a une varieté tropicale, un peu comme les courants positifs standard sont associés aux sous-variétés complexes. On va montrer que l'on peut aussi faire correspondre un supercourant positif à n'importe quelle sous-variété lisse de $R^n$. La construction dépend d'un choix de produit scalaire sur $R^n$, et reflète la structure Riemannien sur la variété induite par son plongement dans $R^n$. Cela nous permet de construire un calcul analogue au formalisme Kählerien sur les variétés Riemanniennes plongées dans $R^n$. Les courants ainsi obtenus ne sont en général pas fermés, mais les courants associés aux variétés minimales satisfont une autre condition presqu'aussi forte. On peut en déduire des estimations sur l'aire de telles variétés, d'une manière analogue aux résultats classiques de Lelong et d'autres aux auteurs.

On introduit une généralisation naturelle des variétés pseudo-hessiennes. Nous les appelons variétés pseudo-hessiennes contravariantes. Elles présentent beaucoup de similarités avec les variétés de Poisson. Nous explorons ces similarités. Nous donnons une machinerie très puissante pour construire des exemples de variétés pseudo-hessiennes. En effet, nous montrons que le dual de toute algèbre commutative associative admet un feuilletage en variétés pseudo-hessiennes. Nous donnons des exemples pour illustrer cela.

Soit $X=G/K$ un espace riemannien symétrique de type non compact et $B=G/P_{min}$ sa frontière de Furstenberg. Pour certains paramètres de $\lambda$ dans ${a}_{c}^{\ast}$, la transformation de Poisson $P_{\lambda}$ est un isomorphisme de l'espace $A^{'}(B)$ des hyperfonctions dans $B$ sur $E_{\lambda}(X)$, où $E_{\lambda}(X)$ est l'espace de toutes les solutions $F$ du système d'équations différentielles: $$ DF=\chi_{\lambda}(D)F, \qquad \forall D\in {D}(X), $$ ici ${D}(X)$ désigne l'algèbre des opérateurs différentiels $G$-invariants sur $X$.
(conjecture de Helgason établie par Kashiwara et al.) Il est naturel de chercher à caractériser l'image par $P_{\lambda}$ de sous-espaces de $A^{'}(B)$. Dans cet exposé, nous considérons le cas des espaces $L^{p}$ du bord, d'abord dans le cas des espaces riemannien symétriques de rang un et $\lambda \in R$. Nous caractérisons $P_{\lambda}(L^{p}(B))$, via des techniques d'intégrales singulières sur le bord $B$, vu comme espace de type homogène au sens de Coifman et Weiss. Nous considérons ensuite la transformation de Poisson sur un $G$-fibré en droite: soit $X=G/K$ un domaine borné symétrique de type tube et $B=G/P_{max}$ sa frontière de Shilov. Soit $E_\nu=G\times_{\tau_\nu} {C}$ le $G$-fibré en droite sur $X=G/K$ défini par une représentation unidimensionnelle $\tau_{\nu}$ de $K$ ($\nu$ étant un entier). Soit $L_\xi$ le $G$-fibré en droite sur $G/P_{max}$, défini par la représentation $\chi$ de $P_{max}$, $\chi: man\rightarrow a^{\rho-i\lambda}\tau_\nu(m)$. La transformation de Poisson $P_{\lambda,\nu}f(g)=\int_{K}\tau_{\nu}(k)f(gk)dk$ est un $G$-isomorphisme de l'espace $\mathcal{B}(G/P_{max},L_\xi)$ des sections d'hyperfonctions de $L_\xi$ dans l'espaces des sections propres de l'opérateur de Hua généralisé, pour certaines valeurs de $\lambda$. Nous caractérisons l'image par la transformation de Poisson $P_{\lambda,\nu}$ des sections $L^p$ de $E_\xi$: elle consiste en des sections propres de l'opérateur de Hua généralisé qui satisfont une condition de croissance de type $H^p$.

Je vais passer en revue quelques développements récents en direction de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, qui fait le lien entre les métriques kähleriennes à courbure scalaire constante et la condition algébro-géométrique de K-stabilité.

La géométrie et la topologie de l'espace des métriques kähleriennes sur une variété lisse est un sujet classique, étudié en premier par Calabi en relation avec l'existence de métriques kähleriennes extrémales. Mabuchi a proposé une structure riemannienne sur cet espace qui en fait, d'une façon formelle, un espace de dimension infinie à courbure négative.
Chen a démontré que cet espace est un espace métrique à courbure négative au sens d'Alexandrov. Son complété métrique a été caractérisé récemment par Darvas.

Nous étendons cette théorie au cas où la variété kählerienne compacte est remplacée par une espace kählerien compact à singularités normales.
Comme conséquence nous donnons un critère analytique pour l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur certaines variétés de Fano singulières, généralisant un travail de Darvas et Rubinstein dans le cas lisse.

Il s'agit d’un travail en collaboration avec Vincent Guedj.

Soit $A^2_\omega(\Omega)$ l'espace de Bergman d'un domaine $\Omega \subset C^n$ défini par $$ A^2_\omega (\Omega ) : =\{ f \in Hol (\Omega ):\ \displaystyle \int _\Omega |f(z)|^2\omega (z)dA(z)\}, $$ où $\omega: \Omega \to (0,+\infty)$ est un poids continu. Soit $\mu $ une mesure de Borel positive dans $\Omega$ et $K$ est le noyau reproduisant de $A^2_\omega (\Omega)$. L'opérateur de Toeplitz $T_\mu$, agissant sur $A^2_\omega(\Omega)$, induit par $\mu$ est donné par $$ T_\mu (f)(z) = \displaystyle \int _{\Omega}f(\zeta)K(z,\zeta)\omega (\zeta)dA(\zeta). $$ Dans cet exposé je vais discuter le caractère borné et compact de l'opérateur $T_\mu$, ainsi que le comportement asymptotique de ses valeurs propres. D'autres classes d'opérateurs seront également considérées.

Nous expliquerons comment construire des espaces permettant de coller des espaces analytiques non-Archimédiens à des espaces analytiques complexes. Nous montrerons que ces espaces hybrides permettent de comprendre certaines dégénérescences de mesures dans divers cadres dynamiques.

Soit $p:X \rightarrow Y$ une fibration holomorphe propre entre variétés kähleriennes, et soit $B=\sum b_i B_i$ un diviseur génériquement snc à coefficients dans $(0,1)$. Nous présentons des résultats (régularité, positivité) concernant les métriques de Kähler-Einstein coniques (éventuellement singulières) relatives sur $(X,B)$ dans les cas de courbure négative et nulle. Si le temps le permet, nous donnerons quelques applications également.

Travail en commun avec Junyan Cao et Mihai Paun.

On résout les équations de Monge-Ampère complexes dans une classe de singularité quelconque. Comme application on confirme une conjecture de Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi concernant la concavité du volume des courants positifs fermés de type $(1,1)$.

Travail en collaboration avec Tamas Darvas et Eleonora Di Nezza.

Nous discutons une théorie du pluripotentiel associée à un corps convexe dans $({\bf R}^+)^d$. Le corps $P$ est utilisé pour construire des sous-espaces de polynômes particuliers et aussi une classe de fonctions plurisousharmoniques naturelles (une classe de Lelong). Nous donnons une version du théorème de Bernstein-Walsh dans cette situation qui explique une observation de N. Trefethen dans la théorie de l'approximation en plusieurs variables réelles.

Travaux en commun avec T. Bayraktar, T. Bloom et L. Bos.